Né à Barcelone, il est l'un des fondateurs du Real Madrid, et son premier président officiel. Avec son frère Carlos et d'anciens membres du « Foot Ball Club Sky », il fonda le 6 mars 1902 le « Madrid Foot Ball Club », genèse du Real Madrid. Il vécut à travers et pour le sport. Il présida la « Fédération espagnole des clubs de football » et fut l'un des protagonistes dans la création de la Fédération royale espagnole de football.
 
Les frères Padrós mirent en place un championnat national entre les clubs. En mai 1903, le « Concurso Madrid », ancêtre de l'actuelle Copa, posa les bases du Championnat d'Espagne. Il fut important pour le club et plus généralement pour le football espagnol.
 
Sous son investiture, les blancs gagnèrent leur premier titre en 1903. Suite au Campeonato Regional Centro, il remportèrent de nombreux trophées aussi bien nationaux que internationaux. Juan Padrós quitta la présidence du club alors que ce dernier absorbait l'AS Amicale et s'unissait avec le Moderno F.C.
 
Son dernier poste dans le monde du sport fut celui de président de la « Fédération espagnole des clubs de football ». Il y resta un an et réussit à harmoniser ce sport avec la Fédération royale espagnole de football, fondée en 1913.